Asensio inició su andadura futbolística en el modesto Playas de Calvia antes de pasar a formar parte de la cantera del Real Mallorca en la categoría Alevín hasta ascender al equipo filial en tercera división y llegando a debutar con el primer equipo, donde José Luis Oltra lo reclama haciéndolo formar parte de la primera plantilla.
Ya en la temporada 14-15 bajo la dirección de Valeri Karpin, con sus 18 años es uno de los jugadores más destacados del equipo mallorquín, situación esta que no pasa desapercibida para los grandes clubes que se interesan por el jugador, siendo el Real Madrid el club en el que recala.